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Seconde lecture des théorèmes : les conséquences

Bien que les théorèmes soient profondément novateurs (qui pourrait le nier !), on trouve toutefois un certain nombre de conséquences erronées issues d’une interprétation pas assez rigoureuse de ces théorèmes. Dans cette section, je tenterai de nuancer certaines conséquences, en les présentant sous la forme de questions.

1. L’arithmétique de Peano PA et la théorie des ensembles ZF sont-elles consistantes ?

On l’ignore actuellement. Il est clair que PA et ZF sont récursives. Il reste à savoir si elles sont consistantes pour pouvoir appliquer les résultats de Gödel. Or on ne peut pas démontrer qu’elles sont consistantes avec leurs propres outils, car cela reviendrait à montrer qu’elles sont inconsistantes (en vertu du second théorème) !

De plus, pour éviter d’entrer dans un cercle vicieux, on ne peut pas se contenter de démontrer la consistance d’une théorie à partir d’une théorie qui l’englobe, car il faudrait alors démontrer la consistance de la grande théorie et ainsi de suite. C’est d’ailleurs le cas de PA : une preuve de sa consistance est possible au sein de ZF. Une telle preuve de consistance est dite relative.

2. Existe-t-il une preuve absolue (i.e. non relative) de la consistance de PA et de ZF ?

Certaines personnes ont proposé des preuves absolues, mais aucune n’a encore fait l’unanimité. L’existence même d’une preuve absolue est incertaine. Toutefois, les théorèmes de Gödel n’impliquent pas l’inexistence de telles preuves.

Signalons aussi qu’avec la théorie des modèles, on peut définir la consistance d’une autre façon : une théorie est consistante si et seulement si elle admet un modèle2. Dans ce cas, on pourrait dire, de façon absolue, que l’arithmétique PA est consistante : en effet, l’ensemble des nombres naturels en est un modèle. Mais cette vision est problématique : PA permet de formaliser les naturels, or on utilise justement les naturels pour montrer sa consistance…

3. Parmi les formules indécidables d’une théorie « convenable », y en a-t-il certaines qui sont vraies ?

Si la théorie est consistante, alors la réponse est oui. Ceci découle de la preuve du premier théorème, dans laquelle on construit une formule G exprimant, dans le langage de la théorie T, le fait que « G n’est pas démontrable ». On montre ensuite que cette formule (appelée la « phrase de Gödel ») est indécidable dans T et est vraie à la condition que T soit consistante.

Sous cette condition, et par un raisonnement méta-mathématique, on peut voir que cette formule est effectivement vraie. Si G est démontrable, alors il y aurait contradiction car G affirme justement le contraire. Comme on a supposé la théorie consistante, il faut en conclure que G n’est pas démontrable. Or, c’est exactement ce qu’affirme G, ce qui nous permet de dire que G est vraie (et indémontrable).

  1. La définition d’un modèle sort du cadre de cet article. On peut toutefois la comprendre intuitivement : un modèle pour une théorie T est un ensemble d’objets qui reflètent (ou satisfont) les axiomes de T. Un exemple très simple est donné par la théorie des groupes dont les axiomes sont ceux qui définissent la structure de groupe. L’ensemble des entiers muni de l’addition usuelle en est un modèle, de même que l’ensemble des rotations de l’espace muni de la composition. []

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