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image_livre Sommaire de l'article

4. La phrase de Gödel est-elle une formule méta-mathématique, ou une formule mathématique ?

Les deux. La preuve du premier théorème repose sur une traduction des énoncés méta-mathématiques portant sur la théorie T en des formules au sein de T elle-même.

Dans le cas de l’arithmétique PA, un nombre naturel unique est associé à chaque symbole pouvant servir à formuler des énoncés méta-mathématiques. Une bijection est alors construite entre les propriétés des nombres naturels, et les relations entre énoncés méta-mathématiques. Ainsi, la phrase de Gödel après traduction est bel et bien une formule de l’arithmétique, qui exprime une certaine relation entre les nombres naturels.

5. Y a-t-il des propriétés mathématiques vraies et indémontrables ?

Si l’arithmétique est consistante, alors la réponse est oui. En effet, dans la suite de la preuve de Gödel, l’assertion méta-mathématique suivante est démontrée :

Si T est consistante, alors G est vraie.

(Rappel : la consistance de T n’est pas démontrable). On a vu dans la question 4 que G correspond, après traduction, à une propriété précise sur les nombres naturels, i.e. une propriété arithmétique. Cette propriété-là est vraie et indémontrable si l’arithmétique est consistante. Ceci reste vrai pour toute théorie consistante et récursive qui contient l’arithmétique. En conclusion, la vérité de la phrase de Gödel (et de sa traduction dans la théorie T) est implicitement contenue dans l’hypothèse que T est consistante.

En pratique, comme on ignore la plupart du temps si T est consistante, on a finalement autant de raison de croire en la vérité de G, qu’on en a de croire en la consistance de T. Dès lors, on ne peut pas affirmer, dans l’absolu, qu’il existe des vérités indémontrables dans les mathématiques actuelles.

En outre, le théorème de Gödel ne fournit aucun autre exemple de formule vraie et indémontrable.

6. L’esprit humain surpasse-t-il toute machine ?

Un argument souvent rencontré est qu’en vertu des théorèmes, une machine capable d’appliquer des règles d’inférence sur un nombre fini d’axiomes (comme un ordinateur) ne peut se prononcer sur la vérité de certains énoncés (qui sont les phrases de Gödel G) alors que l’être humain est capable de voir qu’ils sont vrais.

Cette conclusion passe sous silence le fait que les théorèmes ont la forme conditionnelle : si la théorie (et son implémentation dans la machine) est consistante, alors l’humain peut affirmer la vérité de G. Or, il est extrêmement difficile pour l’être humain de déterminer si une théorie est consistante (le second théorème n’aidant pas…) et il n’y a actuellement pas de méthode miracle pour y arriver.

L’argument ci-dessus suppose implicitement une capacité humaine à déterminer la consistance de toute théorie, ce qui est hautement spéculatif.

Toutefois, pour terminer, on peut mentionner un dernier résultat intéressant. On dit qu’une théorie T est décidable si on peut toujours déterminer, en un nombre fini d’étapes, si une formule donnée F est démontrable dans T (sans nécessairement avoir la preuve de F). On peut alors démontrer que :

L’arithmétique est indécidable.

Autrement dit : il n’existe pas de moyen automatique de savoir si une formule donnée est vraie ou pas pour les nombres naturels. Peut-être ce résultat illustre-t-il le fait qu’il faille une part de génie et d’intuition pour pouvoir deviner la vérité de certains énoncés mathématiques ? Ceci, pour l’instant, reste effectivement hors de portée des machines.

 
 
 

Références :

  • David R., Nour K., Raffalli C., Introduction à la logique, 2e éd., Paris : Dunod, (2001) 2003.
  • Nagel E., Newman J. R., Gödel K., Girard J.-Y., Le théorème de Gödel, Paris : Éditions du Seuil, 1989. Points Sciences.
  • Raatikainen P., On the philosophical relevance of Gödel’s incompleteness theorems, Revue Internationale de Philosophie 59 (2005), 513–534.

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