Gros plan sur le sinus
Le 1 novembre 2006 par Sephi, dans Mathématiques
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Sommaire de l'article
Le mot « sinus », bien connu en mathématiques, est également utilisé pour désigner des zones osseuses du corps humain. On penserait a priori qu’il n’y a aucun lien entre ces deux utilisations. Pourtant, ce lien existe bel et bien, et marque l’influence d’une certaine culture dans le vocabulaire mathématique.
Le terme sinus, dans son origine latine, signifie « pli » ou « creux ». Son utilisation en anatomie correspond bien à ce sens : le sinus frontal et le sinus sphénoïdal, par exemple, désignent bien des creux dans l’os du crâne. Ce qui est moins naturel, c’est sa présence en maths. En effet, quel est le rapport entre le sinus d’un angle, et un « pli » ou un « creux » ?
Les débuts de la trigonométrie
L’astronomie était la motivation principale pour le développement de la trigonométrie dans l’antiquité. Parmi les premiers astronomes, on trouve d’abord le grec Hipparque, qui a vécu au 2e siècle av. J.-C. Il est le premier à avoir associé une longueur à un angle : il s’agit de la corde de l’angle dans un cercle de rayon fixé.
Quatre siècles plus tard vient l’astronome et mathématicien Ptolémée, l’auteur d’un énorme traité d’astronomie en 13 volumes que les arabes ont respectueusement nommé l’Almageste1. Il calcule les cordes correspondant aux angles de 0° à 180° par pas de 30′. Il établit aussi une série de relations à l’allure trigonométrique, par exemple en calculant les cordes correspondant à la somme de 2 angles.
Arrive ensuite le personnage qui nous intéresse. Il s’agit de l’astronome et mathématicien Aryabhata, né au 5e siècle en Inde. En 499, il publie un traité d’astronomie en vers, l’Aryabhatiya, dont le 2e chapitre contient 33 vers énonçant chacun (et sans démonstration) une propriété mathématique. On trouve notamment l’énoncé suivant, particulièrement intéressant :
Ajoutez 4 à 100, multipliez par 8, ajoutez encore 62000, voilà, pour un diamètre de 2 myriades, la valeur approximative de la circonférence du cercle.
L’opération décrite donne pour résultat :
(100 + 4) x 8 + 62000 = 62832
Une « myriade » représentait la quantité 10000. Selon ce texte, 62832 est donc le périmètre d’un cercle de rayon 10000. Un léger calcul nous donne la valeur de pi qui était utilisée par Aryabhata : on obtient 3,1416 qui était une excellente approximation pour l’époque !
- Qui signifie « le plus grand ». [↩]
