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Le système de numération babylonien

Il s’agit d’une numération de position en base mixte 10 et 60. Un clou 1 vaut 1 et est répété au plus 9 fois. Un chevron 10 vaut 10 et est répété au plus 5 fois. C’est seulement à partir du nombre 60 que le principe de position s’applique.

Quelques exemples de nombres :

  • 305 = 35
  • 1402 = 1×60+42 = 102
    Neugebauer utilise la notation 1,42.
  • 201508 = 21×60+58 = 1318
    Alternativement : 21,58.
  • 1208502201 = 1×603+28×602+52×60+21 = 319 941
    Alternativement : 1,28,52,21.

Un fait troublant est l’absence du symbole zéro ! Pour représenter un nombre comme 3601 = 1×602+0×60+1, il fallait insérer un espace vide : 1 __ 1, où __ représente l’espace. Avec plusieurs zéros consécutifs, la notation deviendrait problématique. Heureusement, les Séleucides introduiront un symbole pour le zéro vers -300 environ.

Un autre fait troublant est l’absence de virgule, ce qui fait que les nombres sont notés en « virgule flottante » ! Un nombre tel que 10110 peut donc désigner 11×602+10×60, ou 11×60+10, ou encore 11+10×60-1. La conséquence directe est que les fractions se notent de la même façon que les nombres entiers … Pour savoir quel nombre était désigné, il fallait donc se référer au contexte.

Un exemple de fraction est donné par 730, qui peut représenter le nombre 7×60-1+30×60-2 = 1/8. Neugebauer utilise la notation suivante : 0;7,30.

On peut remarquer que le nombre 1/7, par exemple, possède un développement sexagésimal illimité : 0;8,34,17,88,34,17 … Cependant, les babyloniens n’avaient pas l’équivalent des points de suspension. Il semble qu’ils évitaient tout simplement de représenter de tels nombres.

De manière générale, un nombre 1/n (où n est un entier) possède un développement sexagésimal limité si et seulement si n = 2A3B5C, où A, B et C sont des entiers. Dans ce cas, on dit que n est un entier régulier. Dans notre système décimal, n est régulier si et seulement si n = 2A5B.

En particulier, tous les multiples de 3 admettent une représentation finie dans le système babylonien, ce qui n’est pas le cas avec notre système décimal actuel. Le système babylonien est donc plus pratique que le nôtre ! Le génie de la numération babylonienne a permis à cette civilisation antique de développer des mathématiques beaucoup plus complexes que ce que l’on pense. Parmi les résultats qui figurent sur les tablettes retrouvées, on peut citer :

  • Une approximation de \sqrt 2, correcte jusqu’à la cinquième décimale ! (Tablette YBC 7289)
  • La première approximation de pi de l’Histoire. (Tablette de Suse)
  • Une résolution d’équations du second degré. (Tablette BM 13901)
  • Une utilisation de la formule (non démontrée) de Pythagore, avant la naissance de celui-ci ! (Tablettes BM 85196 et Plimpton 322)
  • La résolution de certaines équations non-linéaires à 2 (voire 3 !) inconnues.
  • Une certaine connaissance des rapports de longueurs dans des triangles rectangles semblages.

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