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Les paradoxes de Zénon

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Kid Paddle

Depuis 25 siècles, les paradoxes du mouvement formulés par l’éléate Zénon ont causé bien des soucis à ceux qui les ont abordés. On admet généralement qu’une solution a été apportée au 19e siècle par le développement, en mathématiques, des notions de limite et de convergence de séries. Cependant, cette solution est-elle vraiment satisfaisante ?


Les paradoxes du mouvement sont au nombre de quatre. Ils causent beaucoup de soucis à ceux qui veulent les résoudre.1

Il est généralement admis que Zénon les avait formulés dans le but de montrer la nature illusoire du mouvement, ce qui correspondait2 à la doctrine de son mentor Parménide. Avant d’étudier les paradoxes eux-mêmes, un premier tour d’horizon autour de la question me semble adéquat.

Ces paradoxes sont-ils d’actualité ?

À la mention des paradoxes, les gens se divisent généralement en plusieurs groupes, dont voici quelques-uns :

  • ceux qui invoquent l’évidence du mouvement au quotidien pour écarter les paradoxes,
  • ceux qui considèrent que le problème est réglé en calculant une limite de série,
  • ceux qui étudient le problème sous l’éclairage de la physique la plus récente (de la contraction relativiste des longueurs à l’effet tunnel quantique !),
  • ceux, plus rares, qui considèrent que les paradoxes sont encore non résolus, voire non résolubles.

Il me semble que ces positions ne sont pas satisfaisantes.

Dans la légende, on raconte que la première position était celle de Diogène le Cynique qui, pour montrer que le mouvement est possible, s’était simplement mis à marcher. Ceci ne résout pas le problème : on imagine mal Zénon douter de la réalité du mouvement en tant que phénomène perçu par nos sens. Ce qu’il défendait était que cette perception humaine, populaire du mouvement ne reflète pas sa nature3. La position de Diogène ne dit donc pas où se trouve l’erreur dans l’énoncé du paradoxe.

Bien qu’elle propose une réponse plus consistante, la seconde position ne résout pas non plus le problème. En effet, montrer que la somme d’une infinité de distances peut valoir une quantité finie revient à apporter un argument quantitatif à la première position ci-dessus. De nouveau, personne ne doute qu’Achille finira par rattraper sa cible en traversant une distance finie (et cela, en un temps fini). La question reste toutefois ouverte : où est l’erreur dans l’énoncé ?

La troisième position, certes très intéressante au niveau des arguments avancés, me semble inadéquate. Les échelles relativiste et quantique sont si éloignées de notre quotidien que même si elles permettent de résoudre les paradoxes, elles ne disent finalement pas en quoi ceux-ci défient notre vision macroscopique, quotidienne, du mouvement.

Quant à la dernière position, je laisse au lecteur le loisir de l’évaluer. Dans la suite de ce texte, j’essaierai de montrer que les paradoxes sont toujours d’actualité malgré qu’ils admettent (au moins) une résolution. Leur intérêt réside, comme le dit Bertrand Russell, dans leur grande subtilité :

Having invented four arguments all immeasurably subtle and profound, the grossness of subsequent philosophers pronounced him [Zeno] to be a mere ingenious juggler, and his arguments to be one and all sophisms.4
(The Principles of Mathematics, 1903.)

  1. Aristote, Physique, VI, IX, 239 h 9. []
  2. Des discussions existent sur les motivations possibles de Zénon, je ne les aborderai pas ici. []
  3. C’est l’opposition philosophique entre la doxa et l’episteme. J’invite le lecteur à approfondir ce thème par lui-même cela l’intéresse. []
  4. Traduction personnelle : Après avoir inventé quatre arguments immensément subtils et profonds, les philosophes qui lui ont succédé [à Zénon] ont grossièrement fait de lui un simple jongleur de mots, et ses arguments ont tous été qualifiés de sophismes. []

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