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Les paradoxes de Zénon

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La Flèche et le Stade

Énoncés. Supposons que l’espace et le temps soient composés d’unités indivisibles Δx et Δt. Aristote énonce le paradoxe de la Flèche comme suit :

Zénon propose un paradoxe trompeur : si un objet quelconque est en repos, lorsqu’il ne s’est pas déplacé du lieu qui est égal à ses propres dimensions, et si d’autre part cet objet qui se meut est sans cesse dans le lieu qu’il occupe présentement, la flèche qui se déplace est immobile.5

C’est ce qui résulte du fait que l’on admet que le temps est composé d’instants.6

Autrement dit : durant l’instant indivisible Δt, la flèche est forcément au repos. Comme cela est vrai à tout instant, la flèche est toujours au repos, donc immobile.

L’énoncé du paradoxe du Stade est long, en voici une présentation succincte. Imaginons un stade avec des rangées de spectateurs. On considère trois rangées successives, notées A, B et C, et on suppose que :

  • chaque siège d’une rangée occupe une largeur égale à Δx (les sièges de la rangée A sont notés A1, A2, A3, etc. et ainsi de suite pour les autres rangées),
  • la rangée A est immobile,
  • la rangée B se déplace d’une unité Δx vers la droite après chaque Δt qui s’écoule,
  • la rangée C se déplace d’une unité Δx vers la gauche après chaque Δt qui s’écoule,
  • à l’instant initial, les sièges sont disposés comme suit :

A1    A2    A3    A4   
B1    B2 B3 B4
C1 C2 C3 C4

Après un instant Δt, les sièges se retrouvent dans cette position :

A1    A2    A3    A4
B1 B2 B3 B4
C1 C2 C3 C4

Selon Zénon, le paradoxe vient du fait que C1, initialement devant B3, se retrouve devant B1 ce qui implique qu’il doit être passé devant B2 après un instant égal à Δt/2. Or Δt est indivisible donc il doit être égal à Δt/2, ce qui est contradictoire :

Pour Zénon, la conséquence est que la moitié du temps est égale au double.7

  1. Aristote, Physique, VI, IX, 239 b 5. []
  2. Aristote, Physique, VI, IX, 239 b 30. []
  3. Aristote, Physique, VI, IX, 239 b 5. []

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