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Les paradoxes de Zénon

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L’Achille

Énoncé. Voyons le second paradoxe qui est celui de l’Achille :

… le plus lent à la course ne peut pas être rattrapé par le plus rapide, étant donné que le poursuivant doit nécessairement atteindre le point d’où le poursuivi est parti, de telle sorte que le plus lent doit sans cesse avoir une certaine avance.9

Il est curieux de constater que ce paradoxe est souvent énoncé avec la présence d’une tortue dans l’histoire, alors que ce gentil animal n’est mentionné nulle part dans les textes originaux.

Résolution. Il y a deux approches possibles à ce paradoxe.

Selon la première, Zénon affirmerait qu’Achille doit parcourir une distance infinie avant de rattraper sa cible vu que cette distance est la somme d’une infinité de termes positifs (c.-à-d. une série). Or une distance infinie ne peut pas être couverte, d’où la conclusion. Des outils d’analyse permettent de montrer que la série représentant la distance à parcourir est finie10 et on décrète alors que Zénon s’était trompé dans son affirmation.

Cette interprétation me semble inadéquate. En effet, Zénon ne doutait probablement pas du fait qu’Achille rattrapera sa cible, et cela sans devoir parcourir une distance infinie. L’argument ci-dessus ne fait que montrer quantitativement ce que tout le monde savait déjà.

Selon la seconde approche, Zénon joue sur l’ambiguïté du terme « sans cesse ». En effet, lors de la lecture du paradoxe, le terme « sans cesse » est dominé par une signification temporelle : on le comprend comme étant « à tout moment », d’où l’impression fallacieuse qu’Achille est à « tout moment » derrière sa cible.

Or, le terme « sans cesse » se rapporte non pas au temps qui s’écoule, mais bien à l’opération consistant à décomposer le parcours d’Achille en étapes successives :

  • Étape 0 : La course commence avec Achille derrière sa cible.
  • Étape 1 : Achille parvient au point où se trouvait la cible à l’étape 0. La cible a encore une avance, inférieure à celle qu’elle avait à l’étape 0.
  • Étape n : Achille parvient au point où se trouvait la cible à l’étape n-1. La cible a encore une avance, inférieure à celle qu’elle avait à l’étape n-1.

« Sans cesse » signifie en réalité « pour tout n » dans la décomposition ci-dessus. L’indice n est un nombre entier naturel, et il est vrai que les naturels n’ont pas de plus grand élément. La décomposition n’a donc effectivement pas de fin.

L’énoncé du paradoxe suscite, insidieusement, l’idée que le temps se mesure en comptant les n, ce qui est faux. Le processus de comptage des n est un processus indépendant du phénomène physique considéré et résulte du choix arbitraire d’étudier ce phénomène à travers une décomposition mathématique particulière. Une fois la distinction faite entre « sans cesse », « pour tout n » et « à tout moment », il n’y a plus de contradiction.

  1. Aristote, Physique, VI, IX, 239 b 14. []
  2. Il suffit d’assigner quelques données initiales au problème et de le traiter. Supposons qu’Achille court k fois plus vite que sa cible qui démarre avec une avance d. La distance totale à parcourir par Achille pour arriver au niveau de sa cible est donnée par la série géométrique d+\frac dk + \frac d{k^2} + \ldots = \frac{kd}{k-1}. []

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