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Sommaire de l'article
La Dichotomie
Énoncé. Ce dernier paradoxe, bien qu’en apparence similaire à celui de l’Achille, est en fait le plus difficile à résoudre. Voici son énoncé :
Le premier argument porte sur l’inexistence du « se mouvoir », compte tenu du fait que le mobile doit d’abord parvenir à la moitié avant d’atteindre le terme de son trajet …11
Avant de couvrir une distance, un mobile doit d’abord couvrir sa moitié. Mais avant cela encore, il doit en couvrir le quart et ainsi de suite. Par conséquent, il ne peut avancer, car il lui est impossible de déterminer la première distance à couvrir pour entamer son mouvement.
Résolution. La différence avec l’Achille est petite mais importante. On sent qu’il y a le même abus à l’oeuvre, à savoir une confusion entre le mouvement physique et sa décomposition dans notre tête. Si dans l’Achille, on pouvait encore déceler l’abus commis dans l’allusion au temps, on est coincé dans la Dichotomie car le temps est cette fois-ci mentionné à l’envers : la décomposition du mouvement se fait en régressant dans le temps et débouche sur l’impossibilité de déterminer la première étape à franchir pour réaliser le mouvement.
Après avoir étudié l’Achille, on se rend compte que la difficulté soulevée par la Dichotomie se trouve surtout dans la formulation de la résolution.
L’abus commis par le vicieux Zénon me semble être le suivant. Le paradoxe suscite, insidieusement, l’idée que le mouvement doit commencer avec une première étape et que celle-ci est à déterminer en réalisant la décomposition mathématique proposée dans l’énoncé. De nouveau, cela est faux : ce n’est pas notre décomposition arbitraire du mouvement qui lui impose la façon de se réaliser.
On se trouve ici dans une situation où un modèle mathématique donné se révèle inadéquat pour décrire un phénomène12. Cela ne signifie pas que le phénomène obéit aux conséquences problématiques dictées par le modèle, mais seulement qu’il faut améliorer, voire changer, le modèle. Le piège que Zénon nous a tendu a été de nous faire supposer une correspondance parfaite entre le modèle et le phénomène.
Références :
- A. DAHAN-DALMEDICO, J. PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Paris : Éditions du Seuil, 1986. Points Sciences.
- J. J. O’CONNOR and E. F. ROBERTSON, Zeno of Elea,
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Biographies/Zeno_of_Elea.html - A. L. SANCHEZ, The aleph zero or zero dichotomy,
http://cogprints.org/5094/1/TheAlephZeroOrZeroDichotomy.pdf
