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Racine de 2

On attribue généralement les premières mentions du nombre \sqrt2 à l’école de Pythagore vers -500. Pourtant, cette fameuse diagonale du carré apparaît déjà chez les Babyloniens. Considérons la tablette YBC 7289, vraisemblablement utilisée par un écolier :

YBC 7289

À quoi correspondent les nombres inscrits sur ce carré dont les diagonales ont été tracées ? Regardons-les d’un peu plus près.

YBC 7289

  • Le premier nombre est 30 qui vaut 30. Vu son emplacement, il désigne probablement la longueur du côté du carré.

  • Il y a deux nombres à l’intérieur du carré. Le premier, situé sur la diagonale horizontale, est 120450110. Sachant qu’une écriture babylonienne peut correspondre à plusieurs nombres, on peut se demander si celui-ci est un entier. Vu qu’il semble désigner la diagonale d’un carré de côté 30, on va tenter d’opter pour la réponse négative, et supposer qu’il s’écrit, en notation de Neugebauer, comme 1;24,51,10. En développant cette hypothèse, on a :

    1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 ≈ 1,41421296

    C’est une approximation de \sqrt 2 correcte jusqu’à la cinquième décimale !

  • Pour confirmer leur connaissance de cette quantité particulière dans le carré, on peut maintenant regarder le deuxième nombre, situé en-dessous : 402205305 que l’on supposera être 42;25,35. En développant, on a :

    42 + 25/60 + 35/602 ≈ 42,426389

    qui n’est autre qu’une approximation, avec 3 décimales correctes, de la longueur de la diagonale valant 30\sqrt 2.

Il est donc vraisemblable que les scribes babyloniens avaient connaissance du rôle de \sqrt 2 dans le lien entre le côté d’un carré et sa diagonale. Par contre, rien n’indique qu’ils avaient une idée du caractère irrationnel (ou incommensurable) de ce nombre. Cette tablette reste remarquable quand on pense qu’il faudra attendre encore plus de 12 siècles avant de voir réapparaître \sqrt 2 chez les Grecs.

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