Gödel : indémontrable mais vrai ?
Le 8 décembre 2007 par Sephi, dans Mathématiques
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Sommaire de l'article
- Énoncés des théorèmes d'incomplétude de Gödel
- Définitions préliminaires
- Première lecture des théorèmes d'incomplétude
- Seconde lecture des théorèmes : les conséquences
- 1. L'arithmétique de Peano PA et la théorie des ensembles ZF sont-elles consistantes ?
- 2. Existe-t-il une preuve absolue (i.e. non relative) de la consistance de PA et de ZF ?
- 3. Parmi les formules indécidables d'une théorie « convenable », y en a-t-il certaines qui sont vraies ?
- 4. La phrase de Gödel est-elle une formule méta-mathématique, ou une formule mathématique ?
- 5. Y a-t-il des propriétés mathématiques vraies et indémontrables ?
- 6. L'esprit humain surpasse-t-il toute machine ?
Les théorèmes de Gödel font partie de la culture mathématique la plus répandue. Toutefois, vu leur difficulté technique, il n’est pas évident d’interpréter correctement des énoncés vulgarisés de ces théorèmes. Une des questions essentielles soulevées concerne l’existence théorique d’énoncés vrais et indémontrables. Cet article se propose d’explorer avec un peu plus de détails cette question.
Énoncés des théorèmes d’incomplétude de Gödel
Premier théorème. Si T est une théorie consistante et récursive contenant l’arithmétique, alors il existe des formules indécidables, i.e. T est incomplète.
Second théorème. Si T est une théorie consistante et récursive contenant l’arithmétique, alors on peut écrire dans le langage de T une formule Cons dont la signification intuitive est « T est consistante » et telle que Cons n’est pas démontrable.
Avant toute chose, il faut préciser la signification des termes mentionnés, tels que « consistant » et « récursif ».
Les définitions qui suivent seront pour la plupart informelles, bien que nombreuses (du moins pour un texte de vulgarisation en ligne). Elles seront toutefois nécessaires pour se rapprocher le plus possible de la signification de ces théorèmes.
