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Tablette YBC 7289

Pour illustrer la grande richesse des mathématiques babyloniennes, bien en avance sur leur temps, nous étudions ici deux tablettes cunéiformes où apparaissent deux célébrités numériques : \pi et \sqrt2.


(Pour savoir comment lire le système de numération babylonien utilisé ici, se référer à l’article Le génie de la numération babylonienne.)

Une première approximation de pi

La première approximation connue du nombre \pi provient des Babyloniens. Considérons la reproduction suivante d’une tablette de Suse :

Tablette de Suse

Il s’agit en fait d’une table donnant l’aire (colonne de gauche) d’une série de figures (colonne de droite). Un premier exemple est donné à la ligne 27 :

2;37,30 IGIGUB SASAG 6

qui signifie :

2,625 est la constante du polygone régulier à 6 côtés

La « constante » désigne ici l’aire et correspond (approximativement) à celle d’un hexagone régulier dont les côtés sont de longueur 1.

Regardons maintenant la deuxième ligne :

0;5 IGIGUB SAGAM

qui signifie :

1/12 est la constante du cercle

Cette fois-ci, c’est le périmètre du cercle qui est supposé valoir 1. On en déduit donc la valeur du rayon :

{2}\pi r = 1 \Rightarrow r = \frac1{2\pi}

et l’aire vaut :

\frac1{12} = \pi r^2 = \frac1{4\pi}

On en tire que la valeur de \pi est 3. C’est une approximation un peu grossière, bien qu’on la retrouve aussi chez les Chinois et dans la Bible.

On peut cependant jeter un oeil à la ligne 30 :

0;57,36 IGIGUB SASAR

qui signifie :

24/25 = 0,96 est la constante du cercle amélioré

Pour comprendre ce qu’est un « cercle amélioré », multiplions cette valeur par l’aire du cercle donnée à la ligne 2 :

\frac1{12} \times \frac{24}{25} = \frac2{25}

Si on suppose que cette dernière valeur est l’aire d’un cercle, on peut en déduire la valeur de \pi qui est :

\pi = \frac{25}8 = 3,125

Voilà une bien meilleure approximation ! On comprend alors que la quantité 0;57,36 = 24/25 est le facteur de correction à apporter à l’aire du cercle donnée à la ligne 2 pour obtenir une valeur plus précise, d’où l’expression « cercle amélioré ».

Cette approximation est assez remarquable pour l’époque, car il faudra attendre plus de 15 siècles et l’arrivée d’Archimède pour avoir une meilleure approximation.

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